Voraussetzungen
- Die Ebenen E und F sollten in Koordinatenform vorliegen.
- Die Ebenen E und F dürfen weder parallel noch identisch sein.
Das Verfahren
- Die beiden Koordinatengleichungen der Ebenen lassen sich als ein lineares Gleichungssystem auffassen, das es zu lösen gilt.
- Sie haben somit zwei Gleichungen mit drei Unbekannten.
- Eine der Unbekannten lässt sich frei wählen z.B. x3=t.
- Jetzt können Sie die restlichen Gleichungen nach x1 und x2 lösen. Die Lösungen hängen dann in der Regel von t ab.
- Wenn man die Lösungen für x1, x2 und x3 als Vektor notiert, so lässt sich daraus durch „Auseinanderziehen“ eine Parameterform der Schnittgeraden gewinnen.
Ermitteln Sie eine Parameterform der Schnittgeraden der beiden Ebenen E: 4x1+x2+3x3=12 und F: -4x1+3x2+2x3=24.
Lösung
Wir schreiben die Koordinatengleichungen als LGS:
I. 4x1+x2+3x3=12
II. -4x1+3x2+2x3=24
In diesem LGS haben wir mehr Variablen als Gleichungen, d.h. wir können eine der Variablen frei wählen z.B. x3=t.
Daraus ergibt sich nach Umstellung
I. 4x1+x2=12-3t
II. -4x1+3x2=24-2t
Nun haben wir ein 2×2-LGS, das wir nach x1 und x2 lösen können. I. + II. liefert 4x2=36-5t also x2=9-(5/4)t.
Eingesetzt in II. folgt 4x1+9-(5/4)t=12-3t ⇒ 4x1=3-(7/4)t ⇒ x1=3/4-(7/16)t.
Wir schreiben nun die Lösung als Vektor:
Ergebnis: Die Ebenen E und F schneiden sich in der Geraden
Aufgabe
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E: 7x1+x2+3x3=8 und F: 2x1-x2+6x3=1.
Lösung
Wir schreiben die Koordinatengleichungen als LGS:
I. 7x1+x2+3x3=8
II. 2x1-x2+6x3=1
Wir wählen z.B. x3=t und erhalten damit
I. 7x1+x2=8-3t
II. 2x1-x2=1-6t
Mit I. + II. folgt 9x1=9-9t also x1=1-t.
Eingesetzt in II. folgt 2(1-t)-x2=1-6t ⇒ 2-2t-x2=1-6t ⇒ -x2=-1-4t ⇒ x2=1+4t
Wir schreiben nun die Lösung als Vektor:
Auseinanderziehen:
.Ergebnis: Die Ebenen E und F schneiden sich in der Geraden
.
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